Analyse BAC 2019

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Exercice 4)
On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x) =4x(e^(-x) +1/2x-1)` .on note `C` sa courbe dans un repère orthonormé

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x)` et `lim_{ x to -infty} f(x)`

2) a) Montrer que `f` est dérivable sur `R` et que `forall x in R : f'(x)= 4(e^(-x) -1)(1-x)`

b) Etudier les variations de `f` puis donner son tableau des variations

c) Montrer que ` exists ! alpha in ]3/2,2[` tel que `f(alpha)= 0 ` on donne `e^(3/2) =4,5 `

d) Vérifier que `e^(-alpha)= 1-{alpha}/2`

3) a) En appliquant théorème de ROLLE à la fonction `f'(x)` . montrer que ` exists x_0 in ]0,1[ : f''(x_0) = 0 `

b) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction `f''` montrer que pour tout ` x ne x_0 ` de l'intervalle `[0,1]` : `{f''(x)}/{x-x_0} > 0 `

c) En déduire que `I(x_0,f(x_0))` est un point d'inflexion de la courbe `C`

4 a) Etudier les branches infinies de `C`

b) Tracer la courbe `C` dans un repère orthonormé

5) a) Vérifier que ` forall x in ]-infty ,alpha] : f(x) <= 0 `

b) Montrer que `int_0^(alpha) f(x) dx = {2alpha(alpha^2-3)}/3`.puis en déduire que `3/2 <= alpha <= sqrt(3)`

c) Calculer en fonction de ` alpha` l aire du domaine délimité par la courbe `C` et les droites ` y= 0 ` ,` x =alpha` et `x= 0 `

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Partie II
On considère la suite `(u_n)` définit par `u_0 < alpha ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n)+u_n`

1) a) Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n < alpha ` ( utiliser 5 a)

b) Montrer que la suite `u_n` est décroissante

2) On suppose que `0 <= u_0 ` et on pose `g(x)= e^(-x)+1/2x-3/4` pour tout ` x in R `

a) Montrer que ` forall x in R : g(x) > 0 ` on donne `ln(2)= 0,67`

b) Montrer que `forall n >=0 : 0 <=u_n ` ( remarquer que `f(x)+x= 4xg(x)` )

c) Montrer que la suite `u_n` est convergente

d) calculer `lim_{ n to +infty} u_n `

3) On suppose que `u_0 < 0 `

a) Montrer que `forall n in N : u_(n+1) -u_n <= f(u_0) `

b) Montrer que `forall n in N : u_n <= u_0 + nf(u_0)`

c) En déduire `lim_{ n to +infty} u_n `